Программа курса «Высшая математика. Дополнительные главы» (4-й семестр)

Данный лекционный курс содержит материал, не входящий в традиционные курсы высшей математики втуза, но необходимый для эффективного усвоения материала ряда дисциплин, преподаваемых на старших курсах кафедры.

  1. Элементы вариационного исчисления
    Функционалы. Простейшие задачи вариационного исчисления. Вариация функционала. Необходимые условия экстремума. Задача с закрепленными концами. Уравнение Эйлера. Задача со свободными концами. Обобщения на случай нескольких функций и нескольких независимых переменных.

  2. Интегралы, зависящие от параметра
    Собственные интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование и интегрирование интеграла по параметру. Производная кратного интеграла с переменной областью интегрирования. Гамма-функция Эйлера.

  3. Преобразование Фурье
    Определение. Формула обращения. Основные свойства. Примеры применения.

  4. Дополнительные вопросы теории дифференциальных уравнений
    Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов. Уравнение Бесселя и функции Бесселя.

  5. Элементы теории меры и интеграла Лебега
    Системы множеств. Кольцо и полукольцо множеств. Определения. Примеры.
    Основные леммы. Кольцо, порожденное полукольцом множеств. Понятия сигма-кольца и сигма-алгебры множеств.
    Мера. Определение, примеры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Сигма-аддитивная мера на полукольце множеств. Продолжение сигма-аддитивной меры с полукольца на кольцо множеств.
    Внешняя мера. Определение. Свойства. Сигма-алгебра измеримых множеств. Мера Лебега и ее основные свойства. Множества меры нуль. Структура системы измеримых по Лебегу множеств.
    Понятие измеримой функции. Действия с измеримыми функциями. Эквивалентность измеримых функций. Сходимость почти всюду. Предел последовательности измеримых функций.
    Понятие простой функции. Свойства простых функций. Измеримая функция как предел последовательности простых функций.
    Интеграл Лебега от простой функции. Определение и основные свойства.
    Определение и основные свойства интеграла Лебега от измеримой функции по множеству конечной меры.
    Предельный переход под знаком интеграла Лебега.

Рекомендуемая литература

  1. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. - М.: Изд-во ЛКИ, 2008.
  2. Троицкий В.А. Вариационное исчисление и оптимальное управление. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006.
  3. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. Задачи и примеры с подробными решениями. - М.: Эдиториал УРСС, 2002
  4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Физматлит, 2006
  5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть II. – М.: Физматлит, 2005
  6. Треногин В.А., Писаревский Б.М.. Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. – М.: Физматлит, 2002
  7. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 2. – СПб.: БХВ, 2008